Σαδισμός και μαθηματικά

Οι μεταγλώσσες να έχουν μαθηματική δομή εννοείς;
Mια σειρά συγγραφέων, από τον Αλόνζο Τσερτς εώς τον Γκρέγκορυ Τσάιτιν, θα διαφωνούσαν.

 

That been said μια καλύτερη θεωρία επεκτείνει τα συμπεράσματα αυτής που έρχεται να αντικαταστήσει εξηγώντας τα σκοτεινά της σημεία και αίροντας τις προβληματικές περιπτώσεις της προηγούμενης. Η τυχαιότητα δεν είναι ούτε σκοτεινό σημείο, ούτε προβληματικό, το ότι δε μας κάθεται καλά είναι δικό μας πρόβλημα και όχι της φύσης. Η επόμενη θεωρία θα πρέπει να ενοποιεί τη βαρύτητα και να εξηγεί τι γίνεται εκεί που τώρα γενική σχετικότητα και κβαντική φυσική λένε "no habla ingless" και όχι να άρει συλλήβδην τα συμπεράσματα των προηγούμενων δύο. Θα πρέπει να τα επεκτείνει εξηγώντας *το ίδιο* καλά.

Φιλοσοφώντας μπορείς να διαφωνήσεις όσο θέλεις. Επί του πρακταίου όταν ασχολείσαι με μαθηματικά παίζεις με τους κανόνες τους.

 

Σπάω την απάντηση για να διατηρήσουμε τη δομή. Κανείς από τους δύο δεν ήταν/είναι φιλόσοφος, ταντίθετα οφείλουμε στον έναν πολλά σε σχέση με το πως είναι το πισί σήμερα, στον άλλον οφείλουμε το πως θα είναι αύριο.

 

Το ότι αμφότεροι είναι μαθηματικοί -και δη τεράστιοι- δε σημαίνει ότι δεν φιλοσοφούν επί του θέματος. Το βιβλίο του Church που αναφέρεις δεν το έχω διαβάσει, έχω διαβάσει όμως αυτό του Chaitin, ο άνθρωπος παραθέτει το ιστορικό της έρευνάς του για το πρόβλημα τερματισμού και φιλοσοφεί πάνω στις επιπτώσεις αυτού.

Για να το ρίξουμε και λίγο στη φιλοσοφία κάθε σύστημα περιλαμβάνει αρχικά σύμβολα και κανόνες παραγωγής. Αν το σύστημα αυτό περιλαμβάνει τους φυσικούς αριθμούς, τον ήπιαμε λόγω Godel, το ίδιο το σύστημα δεν μπορεί να αποδείξει τη συνέπειά του. Αν φτιάξουμε ένα μετα-σύστημα που αποδείξει τη συνέπεια του συστήματος και αυτό με τη σειρά του δε θα μπορεί να αποδείξει τη δική του συνέπεια. Θα χρειαστούμε ένα μέτα-μέτα-σύστημα και ο κύκλος δεν τερματίζει.

Τώρα βέβαια αν υπάρχει κάποια οντότητα που μπορεί να χειριστεί και να κατανοήσει ουσιαστικά το ω κατά πάσα πιθανότητα δε θα τραβάζει τέτοια ζόρια αλλά στην πραγματικότητα μία τέτοια οντότητα θα μας είναι εξίσου ασύλληπτη με το ίδιο το ω οπότε από πρακτικής σκοπιάς το τι μπορεί να κάνει και τι όχι έχει ελάχιστη σημασία αν αυτό μας είναι εγγενώς ασύλληπτο.

 

*καλο τριγγερ για τους πληροφορικάριους



για τη μεταγλώσσα μιλάω αυστηρά και ρητά στα δυο βιβλία, οι συγγραφείς αναφέρουν πως πρέπει να υπάρχει μεταγλώσσα για να υπάρξουν - να το πω με τριγγερ- μαθηματικά/προγράμματα. προφανώς δεν θα αφιέρωσει ένα βιβλίο κάποιος μόνο στη μεταγλώσσα, θα ήταν ενδιαφέρον ίσως, δε μπορώ να πω πως βλέπω τη σκοπιμότητα.

 

Πάντως τα ίδια τα μαθηματικά είναι πολλές φορές counter intuitive

Το 19ο αιώνα πίστευαν -και κάποιοι είχαν λανθασμένα "αποδείξει"- ότι εκτός μεμονωμένων "ανώμαλων" περιπτώσεων οι συνεχείς συναρτήσεις (αυτές που το γράφημά τους δεν κόβεται πουθενά) είναι και παραγωγήσιμες (δηλαδή "ομαλές"). Μέχρι που ο Weierstrass κατασκεύασε μια συνάρτηση που είναι παντού συνεχής και πουθενά παραγωγίσιμη. Και μετά ήρθε κάποιος άλλος (νομίζω ότι ήταν ο Bolzano αλλά μπορεί να κάνω και λάθος) που απέδειξε ότι όχι απλά υπάρχουν συναρτήσεις που είναι παντού συνεχείς και πουθενά παραγωγίσιμες αλλά είναι η απόλυτη "πλειοψηφία". Για να το θέσω αναλογικά, αν ο νυχτερινός ουρανός ήταν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις τα αστέρια είναι αυτές που είναι παραγωγίσιμες έστω και σε πεπερασμένο πλήθος σημείων και η μαυρίλα οι συναρτήσεις που είναι παντού συνεχείς και πουθενά παραγωγίσιμες.

Η ας πάμε σε κάτι πιο άμεσο: τους αριθμούς. Αλγεβρικοί λέγονται οι αριθμοί που είναι ρίζα πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές (πχ οι φυσικοί, τα κλάσματα, οι ρίζες κλπ). Αναρωτήθηκαν αν υπάρχουν αριθμοί που δεν είναι αλγεβρικοί. Κάποιος (θαρρώ ο Liouville) κατασκεύασε έναν. Μετά αποδείχτηκε ότι το e (η βάση των φυσικών λογαρίθμων) είναι υπερβατικός. Με βάση αυτό αποδείχτηκε ότι το π είναι και αυτός υπερβατικός, απαντώντας οριστικά στο πρόβλημα του τετραγωνισμού του κύκλου. Ε, τα πράγματα είναι ακόμα χειρότερα, οι υπερβατικοί είναι η πλειοψηφία των πραγματικών αριθμών, είναι ο λόγος που η απειρία τους είναι μεγαλύτερης τάξης από αυτής των φυσικών¹

Στα 20 του ο Kolmogorov κατασκεύασε μια σειρά Fourier που αποκλείνει σχεδόν παντού. Μερικά χρόνια αργότερα κατασκεύασε μια σειρά Fourier που αποκλείνει παντού!

Tell me about bad surprises  

¹ Και μιας και ο @slave32 αναφέρθηκε σε άλυτα προβλήματα ορίστε ακόμα ένα: Είναι ο πληθάριθμος των πραγματικών ο αμέσως επόμενος αυτού των φυσικών ή υπάρχει σύνολο με ενδιάμεσο πληθάριθμο; Εδώ πέσαμε σε περίπτωση που πιάνει το θεώρημα του Godel, ούτε αυτό μπορεί να αποδειχτεί ούτε η άρνησή του. Κάνεις εξίσου καλή θεωρία συνόλων και χωρίς την εικασία του συνεχούς και με αυτήν. Νομίζω, όπως και με το αξίωμα της επιλογής, ακόμα τρώγονται  

 

το 'σχεδόν' είναι μια λέξη που δεν υπακούει σε κανόνες. όποιος έχει ρωτήσει γυναίκα για το αν τελείωσε τα ψώνια της θα κατανοήσει

 

Ι.Ε.Κ @Arioch ...
Άντε και με το καλό σ' ανοιχτό πανεπιστημηνήνιο..!

 

Στα μαθηματικά το "σχεδόν παντού" είναι πολύ καλά ορισμένο: Παντού εκτός ενός συνόλου μηδενικού μέτρου.

 

συμφωνούμε, όταν μια γυναίκα αφήνεται μόνη της να ψωνίσει, το μέτρο χάνεται, μηδέν

 

Σκέψου να έμπαινε στην κουβέντα καμιά Σούζι που τσούζει να αποδείξει επί του πρακτέου αυτό που έγραψε ο @MasterJp: Δεν γνωρίζω αν ο σαδισμός είναι μαθηματικά αλλά τα μαθηματικά είναι σαδισμός!

 

Obligatory xkcd