Σαδισμός και μαθηματικά

Ναι ρε συ...σου τσιτωνει τα νευρα....δεν ειναι σωστό γιατί δεν είναι 1 αλλά ολα οδηγούν σε αυτό

1/3 = 0.33333
3*1/3 = 3*0,33333
1 = 0.99999


Και υπάρχουν και άλλες αποδείξεις που σε τρελαίνει ακόμα περισσότερο

 

α;

 

Μπορώ να δω τα μαθηματικά με "μαθηματικό" τρόπο και να είμαι ψυχρή απέναντί τους, να τα χρησιμοποιήσω για να επιλύσω προβλήματα ή για να εξηγήσω πράγματα αυτού του κόσμου που δεν μπορώ να εξηγήσω αλλιώς. Μπορώ να τα εξυψώσω ή να τα ποδοπατήσω, αναλόγως διάθεσης και ανάγκης. Μπορώ όμως και να τα αγκαλιάσω, να τους αποδώσω την ομορφιά που τους αξίζει και, αν τα περιβάλω με τέχνη, να τα εξισώσω με σαδισμό ή ακόμα και με μαζοχισμό. Τα μαθηματικά έχουν δύναμη, μα είναι και ευάλωτα, ακούγεται οξύμωρο, αλλά μέσα τους συνυπάρχουν αντίθετες έννοιες. Ο Κ.Π.Καβάφης τα πλέκει περίτεχνα στην ποίησή του:

"Aν ευτυχής ή δυστυχής είμαι δεν εξετάζω.
Πλην ένα πράγμα με χαράν στον νου μου πάντα βάζω —
που στην μεγάλη πρόσθεσι (την πρόσθεσί των που μισώ)
που έχει τόσους αριθμούς, δεν είμ’ εγώ εκεί
απ’ τες πολλές μονάδες μια. Μες στ’ ολικό ποσό
δεν αριθμήθηκα. Κι αυτή η χαρά μ’ αρκεί. "

 

Προσωπική μου άποψη πάντως, είναι ότι τα Μαθηματικά αδικούνται
όταν τα χαρακτηρίζουμε απλά σαν άλλη μια Επιστήμη!!

 

ε μια προσπάθεια είναι αυτή, κάντη και ας πέσει χάμω

 

Ευφυέστατη η ανάλυση, όντως πρόκειται για ακραία παρήχηση του "α;", μια θεσπέσια εικαστική σχεδόν αναπαράσταση. Απεικονίζεται άψογα το πέος δέος που αφήνει τους αναρίθμητους αναλγέβριτους να χάσκουν στην ιδέα ότι κάποιος μπορεί να συλλάβει την έννοια μιας διαίρεσης με διψήφιο διαιρέτη χωρίς να ξεσπάσει σε λυγμούς¹.

¹απελπισίας, όχι συγκίνησης από χαρά και μαλακίες.

 

μα δεν είναι ανάλυση ευφυής

προσκαλώ οποιονδήποτε το διαβάσει ως θα εγίγνωσκε καθημερινό δίστηλο σε αθλητική εφημερίδα,
να μου εξηγήσει και μένα του πτωχού τι στο κέρατο εννοεί το ποιητή

 

Lets try. Για λόγους απλότητας θα πάρουμε το διάστημα μεταξύ 0 και 1

1. Υπάρχουν άπειροι ρητοί μεταξύ του 0 και του 1

Θεωρούμε τη απεικόνιση από το Ν\{0} -> Q

n -> 1/n

Η απεικόνιση είναι 1 προς 1 και απεικονίζει όλο το σύνολο των φυσικών αριθμών σε ένα υποσύνολο των ρητών μεταξύ του 0 και του 1

Αφού το σύνολο των φυσικών είναι απείρως αριθμήσιμο και αφού η απεικόνιση είναι ένα προς 1 το υποσύνολο αυτό των ρητών είναι και αυτό απείρως αριθμήσιμο.

2. Θεωρούμε την απεικόνιση από το N×N->N
F(m,n) = m*n

Η απεικόνιση αυτή είναι 1 προς 1, αφού σε κάθε ζευγάρι φυσικών αντιστοιχίζει το γινόμενο τους.

Το θεμελιώδες θεώρημα των πρώτων μας εξασφαλίζει ότι η συνάρτηση είναι επί του N, αφού κάθε φυσικός μπορεί να γραφτεί σαν γινόμενο δύο αριθμών.

Αφού λοιπόν η συνάρτηση είναι ένα προς ένα και επί συνάγεται ότι ο πληθαριθμος του N×N είναι ο ίδιος με του N, συνεπώς το Ν×N είναι απείρως αριθμήσιμο.

Κατασκευάζουμε τώρα την απεικόνιση από το Ν×N\{0} στο Q (n,m) -> n/m

Η συνάρτηση είναι ένα προς ένα και επί άρα το σύνολο των ρητών είναι απείρως αριθμήσιμο, κατά συνέπεια το άπειρο υποσύνολο του μεταξύ του (0,1) έχει τον ίδιο βαθμό απειρίας γιατί δεν υπάρχει άλλη απειρία μικρότερη από αυτή των φυσικών.

Μόλις αποδείξαμε ότι υπάρχουν άπειροι αριθμήσιμοι ρητοί μεταξύ του 0 και του 1

Με τον ίδιο τρόπο που δείξαμε ότι το Q είναι απείρως αριθμήσιμο μπορούμε να δείξουμε ότι το Z, το σύνολο των ακεραίων είναι απείρως αριθμήσιμο. Ομοίως μπορούμε να δείξουμε ότι κάθε πεπερασμένο καρτεσιανό γινόμενο ενός απείρως αριθμήσιμου συνόλου είναι απείρως αριθμήσιμο.

Αλγεβρικοί ονομάζονται οι αριθμοί που είναι ρίζες πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Επειδή κάθε πολυώνυμο βαθμού n απεικονίζει 1-1 και επί το Q^n σε ένα υποσύνολο του R το υποσύνολο αυτό των πραγματικών έχει την ίδια απειρία με αυτή των φυσικών.

Σε επόμενο post θα κάνουμε και το πιο ζόρικο κομμάτι, θα αποδείξουμε ότι το σύνολο των πραγματικών που είναι άπειρο (αφού διαθέτει απείρως αριθμήσιμο υποσύνολο) δεν έχει την ίδια απειρία. Θα αποδείξουμε ότι όποια διάταξη των φυσικών και αν κάνουμε θα υπάρχει πραγματικός αριθμός που δεν αντιστοιχεί σε αυτήν.

 

Eυχαριστώ για τη μακροσκελή και αναλυτική απάντηση μα έχω απορίες
(κάντε λαηκ όποιος το κατάλαβε αμέσως)

 

(Απεικονίσεις; Έβγαλε κανείς μαγνητική; )
Αυτό είναι σαν το κόλπο του 0.999... από την ανάποδη.
Γιατί δεν το κάνουμε από την ανάποδη; 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001,... Να άπειροι αριθμοί χωρίς απεικονίσεις και 1 προς 1 και ψιψιψινια  

Mια στιγμή, το προηγούμενο 1 προς 1 το ένιωσα, πχ το 5 πάει στο 1/5 και ποτέ στο 1/1,2,3,4,6,7,8,9

Εδώ στο (1,2) και στο (2,1) δίνει πάντα 2, δεν είναι 1 προς 1  

Το ποιό και γιατί όλο αυτό, αφού καθε αριθμός -πχ 1234567890- μας βγαίνει ως F(1234567890,1)

Αν σε νιώθω εδώ, αν βγάλουμε από το άπειρο ένα στοιχείο, μένει πάλι άπειρο (?)

 

Περίμενε, πολυώνυμα είπες με ρητούς συντελεστές. Εγώ έχω δεί την ταινία που ήταν αυτός από το χόμπιτ αλλά ήταν στην οξφόρδη και κάποιον έψαχνε, και του είπε ο άλλος - που ήταν ο δολοφόνος - ότι το χ^2-2 έχει ρητούς συντελεστές αλλά δεν έχει ρίζες ρητούς.

Γιατί τα λέω αυτά, θυμάσαι πως έλεγαν την ταινία; Ποιά ήταν πρωταγωνίστρια  

 

Αυτά παθαίνεις αν γράφεις ενώ είσαι στο γραφείο σε zoom meeting

Σωστός, και δεν είναι μόνο τα ζευγάρια (n,m) και (m,n) αλλά και πολλά άλλα (3,4) με (2,6)

Πρέπει να το σκεφτώ αλλιώς, προφανώς η απεικόνιση δεν είναι 1 προς 1 αλλά πολλά προς ένα.

Γιατί ήθελα να κατασκευάσω αμφιμονοσήμαντη απεικόνιση από το N^2 -> Ν, το N×{1} δε μου κάνει.

It's a moot point από τη στιγμή που πάτησα τη μπανανόφλουδα στην επιλογή αμφιμονοσήμαντης απεικόνισης του NxN -> N και επίσης για να συμπεριλάβουμε όλο το Q θα χρειαστεί να συμπεριλάβουμε και τους αρνητικούς. Συνεπώς όπως το βλέπω θα πρέπει να φτιάξω αμφιμονοσήμαντη από το N->Z και από το Z->Q το οποίο θα μας δείξει αυτό που θέλουμε, ότι οι ρητοί έχουν την ίδια τάξη απειρίας με τους φυσικούς. Το πρώτο είναι εύκολο, ορίζουμε την απεικόνιση
n -> (-1)^n * [(n+1)/2] (όπου [] το ακέραιο μέρος) και είμαστε οκ. Το άλλο είναι πιο ζόρικο ή το βλέπω ζόρικο αυτή τη στιγμή...

Εδώ ξέχασα τη συνθήκη n, m να είναι πρώτοι μεταξύ τους αλλά κάτι δε μου αρέσει, πρέπει να το ξαναδώ  

Βγάζοντας πεπερασμένο πλήθος στοιχείων από άπειρα μας μένουν τα ίδια άπειρα. Μπορείς να αφαιρέσεις και άπειρα στοιχεία από άπειρο πλήθος και να σου μείνει πάλι άπειρο.

Πχ, αν αφαιρέσουμε τα τέλεια τετράγωνα από τους φυσικούς αριθμούς (που είναι άπειρα) πάλι μας μένουν άπειροι φυσικοί.

Για να είναι ένας αριθμός αλγεβρικός πρέπει να είναι ρίζα πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές, δε σημαίνει ότι ο αριθμός είναι ρητός. Όπως σωστά παρατήρησες οι αριθμοί +/- sqrt(2) είναι αλγεβρικοί.

Και αυτό είχα γράψει:

• απείρως αριθμήσιμοι ρητοί
• απείρως αριθμήσιμοι αλγεβρικοί άρρητοι
• υπεραριθμήσιμοι άρρητοι.

Πάω να σκεφτώ μια 1-1 διάταξη μεταξύ του Q και του N και επιστρέφω με αυτό και το διαγώνιο επιχείρημα του Cantor που αποδεικνύει ότι οι άρρητοι δεν είναι αριθμήσιμοι.

 

(0,0) -> (1,0) -> (1,1) -> (0,1) ->...


το λογόγραμμα της χρυσής αυγής