Σαδισμός και μαθηματικά

Ναι, κάτι τέτοιο σκεφτόμουν αλλά ήθελα να το γράψω με λόγια...

Το πρώτο (αμφιμονοσύμαντη από το N->Z το κατάφερα πάντως, γιεεεε!)

Aaaaany way, αν δεχτούμε ότι υπάρχει αμφιμονοσύμαντη απεικόνιση από το N -> Q τότε οι ρητοί έχουν την ίδια τάξη απείρου με τους φυσικούς, είχαμε αποδείξει ότι υπάρχει άπειρο υποσύνολο των ρητών στο (0,1) αλλά δεν είχαμε εκτίμηση της απειρίας των υπόλοιπων ρητών στο (0,1).

Πλάκα στην πλάκα το διαγώνιο επιχείρημα είναι τελικά πιο απλό:

Κάθε αριθμός έχει δυαδική αναπαράσταση. Ας προσπαθήσουμε να τους βάλουμε σε μια σειρά ως εξής:

• α(1) = 0,0,0,0,0,...0,0,0,..
• α(2) = 0,1,0,0,0,...0,0,0,...
• α(3) = 0,0,1,0,0,...,0,0,0...
• α(4) = 0,0,0,1,0,...,0,0,0...
• α(5) = 0,0,0,0,1,...,0,0,0...
• ...

Υποθέτουμε ότι η παραπάνω διάταξη περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούς αριθμούς

Φτιάχνουμε τον αριθμό σ ως εξής:

Το πρώτο του ψηφίο διαφέρει από το α(1) στην πρώτη θέση, από το α(2) στη δεύτερη θέση, από το α(3) στην τρίτη θέση κ.ο.κ.

Αυτός ο αριθμός δεν μπορεί να ανήκει στην παραπάνω διάταξη αφού διαφέρει από όλα τα μέλη της σε ένα ψηφίο, συνεπώς η υπόθεσή μας ότι η διάταξη αυτή περιλαμβάνει όλους τους πραγματικούς αριθμούς είναι άτοπη.

Αυτό σημαίνει ότι οι πραγματικοί αριθμού δεν μπορούν να μπουν σε διάταξη με τους φυσικούς. Αφού όμως δείξαμε (δηλαδή σκατά δείξαμε αφού έκανα μαντάρα την απόδειξη ότι το N έχει αμφιμομοσήμαντη απεικόνιση στο Q, αλλά τέλος πάντων) ότι οι φυσικοί είναι το ίδιο άπειροι με τους ρητούς και από τη στιγμή που οι αλγεβρικοί είναι και ομοίως άπειροι, μας μένουν οι υπερβατικοί που είναι μη αριθμήσιμοι.

Αυτά και ουφ!

@MasterJp Τα μαθηματικά δεν είναι μόνο σαδισμός, είναι και μαζοχισμός  

 

Όσον αφορά πάντως στο αγαπημένο μου ερώτημα (πόσοι αριθμοί υπάρχουν μεταξύ του 2 και 3, ή μεταξύ των 1 και 2, κλπ᾽᾽, αν είναι άπειροι ή πεπερασμένοι),
κάθε φορά που το θέτω σε ένα σύνολο ατόμων, ακούγονται διαφορετικές μεταξύ τους απαντήσεις.
Και κάθε φορά με ρωτάνε ποια είναι η δική μου άποψη, και απαντάω το εξής:

Υπάρχει μια θεωρία που υποστηρίζει πως, με τις κλίμακες μέτρησης που χρησιμοποιούν οι άνθρωποι,
δεν υπάρχει τίποτα που να είναι μικρότερο της τάξης του -37 (δλδ επί 10 ^(- 37) και να έχει κάποια σημασία (από μόνο του) στη ζωή μας.

Από την μία λοιπόν, εύκολα κάποιος φαντάζεται πως μπορεί να προσθέτει νούμερα δεκαδικών επ᾽άπειρον (οπότε και οι αριθμοί μεταξύ του 1 και του 2 είναι άπειροι),
από την άλλη όμως, τα δεκαδικά που προστίθενται ως αριθμοί μετά την υποδιαστολή, (από ένα σημείο και μετά) δεν έχουν καμία απολύτως σημασία (οπότε οι αριθμοί που μπορεί να έχουν κάποια σημασία είναι πεπερασμένοι).

Με απλά λόγια, ακόμα και ο έρωτας με τα μαθηματικά, όπως και ο μαζοχισμός, πρέπει να έχουν όρια  

 

Πρόσεξε να δεις την παγίδα. Υποθέτω ότι αναφέρεσαι στο μήκος Planck. Η μονάδα μέτρησης είναι τα μέτρα και το μήκος Planck 10^-36 m

Γιατί να είναι ο 10^-36 το όριο και όχι το 10^-360 σε δέκατα του μέτρου, ή το 10^-3600 σε εκατοστά του μέτρου κ.ο.κ.

Από τη στιγμή που έχεις ελευθερία να επιλέξεις μονάδα μέτρησης, τότε οποιοσδήποτε αριθμός, οσοδήποτε μικρός έχει νόημα.

Πάμε τώρα στην πληροφορία. Αν μπορούμε να αποθηκεύσουμε 1 bit σε κάθε όγκο Planck (10^-108 m) τότε αν το σύμπαν είναι πεπερασμένο, τότε πεπερασμένος είναι και ο μέγιστος αριθμός ο οποίος μπορούμε να καταγράψουμε.

Ναι;

Όχι!

Ο μέγιστος αριθμός που μπορεί να καταγραφεί στο σύμπαν+1 είναι πληροφορία  

Το άπειρο είναι real mind fuck... και το άπειρο που συζητάμε δεν είναι παρά το πρώτο στη σειρά, αυτό των φυσικών. Των πραγματικών είναι ακόμα χειρότερο, η πλειοψηφία των πραγματικών αριθμών τους δεν μπορεί να γραφτεί, δεν μπορεί να κατασκευαστεί και δεν μπορεί να περιγραφεί!

Και ακόμα χειρότερα, οι ίδιες οι τάξεις απειρίας είναι τόσο ... άπειρες που δεν μπορούν καν να σχηματίσουν σύνολο...

This is really, truly, scarily mind blowing.

 

κάποιοι έχουν δύο -
μήπως μεγαλώνει έτσι η λίστα πολυ

 

Αν ειναι κ κατω απο 40.

 

Σωστά, αν και νομίζω ότι αν κάποιος αποδείξει ένα από τα παρακάτω θα πάρει από Fields μέχρι 500 λεπτά προς όλους:

1. Riemann Hypothesis
2. P vs NP
3. Yang-Mills existence & mass gap

 

Καταγγέλλω ρατσισμό εις βάρος των μιγαδικώνε αριθμώνε...

 

O Γουαιλις με το Φερματ δεν το πηρε παντως.

 

Πάτς.

- ενα

Πάτς.

-ένα μηδέν.

- μπράβο μικρή.

Πάτς

- ένα ένα.

- μπράβο μικρή.

Πάτς.

- ενα Μηδέν μηδεν.

- μπράβο μικρή

Πάτς.

- ένα μηδέν ένα.

- άψογα

Πάτς.

- ένα ένα μηδεν.

- τέλεια.

- φτάνει, Κύριε?

- όχι. Απλά θα το κάνουμε λίγο πιο ενδιαφέρον.

Πάτς πάτς πάτς.

Την βλέπω, μετράει στα δάκτυλα.

-ένα μηδέν μηδέν ένα.

- τέλεια. Και τώρα σε δεκαεξαδικό.

Πάτς.

- αλφα.

Πάτς

- βητα

- χμμμ καλή είσαι.

- ευχαριστώ Κύριε.

Πάτς.

- Σε.

- ωραία.

Πάτς πάτς.

- Ε, Κύριε.

Πάτς.

- Εφ, Κύριε.

- τέλεια. Θα σε κρατήσω.

- ευχαριστώ Κύριε.

Ο έρωτας στην ψηφιακή εποχή. Dual Code και hexadecimal. Βασικά προσόντα.

 

Σωστό κι αυτό αν και θεωρώ ότι η εικασία των Taniyama–Shimura που απέδειξε δεν ήταν το ίδιο σημαντική με τα παραπάνω προβλήματα.