To Διλημμα της Αντικειμενοποίησης

Σ’ αυτό το μέρος θα ερευνηθούν ψυχολογικές απόψεις μετάβασης από τη λειτουργική στη δομική αντίληψη. Ιδιαίτερη προσοχή θα δοθεί στα εμπόδια που πρέπει να υπερπηδηθούν από το μαθητή στη πορεία του να κατανοήσει ένα αντικείμενο καθαρής μαθηματικής έννοιας όπως είναι η συνάρτηση. Μια προκαταρκτική ερώτηση πρέπει να απαντηθεί πριν αναλυθεί η έμφυτη πολυπλοκότητα της αντικειμενοποίησης : Είναι η δομική αντίληψη πραγματικά απαραίτητη; Τελικά, φαίνεται δυνατό (αν και όχι τόσο φυσικό) να παρουσιάζουμε και να χειριζόμαστε κάθε μαθηματική έννοια, θεώρημα κι απόδειξη με αμιγώς λειτουργικούς όρους. Τι κερδίζουμε συνεπώς, απ΄ το να είμαστε ικανοί να χειριζόμαστε μια συνάρτηση όχι μόνο ως μια υπολογιστική διαδικασία αλλά επίσης κι ως μια οντότητα σαν αντικείμενο.

Υιοθετώντας την άποψη που υποστηρίζεται με μεγάλη ευφράδεια από τους Lakoff και Johnson (1980), κάποιος μπορεί να πει ότι : “ μαθηματικά αντικείμενα δεν είναι παρά τυπικά υποδείγματα μιας τεράστιας συλλογής από μεταφορές που έχουν εισχωρήσει στο εννοιολογικό μας σύστημα ” (p. 115). Η τακτική μας προσφυγή σε μεταφορές μπορεί εύκολα να εξηγηθεί: «Επειδή τόσες πολλές από τις έννοιες, που είναι σημαντικές για μας, είναι είτε αφηρημένες είτε δεν εμφανίζονται καθαρά στην εμπειρία μας, χρειαζόμαστε να τις κατανοήσουμε μέσω άλλων εννοιών που τις καταλαβαίνουμε με σαφέστερους όρους (σχέσεις χώρων, αντικείμενα, κτλ). Αυτό υποδηλώνει ότι τα μαθηματικά αντικείμενα είναι τα εργαλεία μας για να δώσουμε νόημα και σειρά στη μαθηματική γνώση».

Αυτή η τελευταία θέση μπορεί επίσης να παρουσιαστεί ως επίπτωση συγκεκριμένων αληθοφανών υποθέσεων για τον τρόπο με τον οποίο η μαθηματική πληροφορία επεξεργάζεται στον ανθρώπινο νου. Είχε τονιστεί στην αρχή αυτού του κεφαλαίου ότι οι λειτουργικές και δομικές αντιλήψεις είναι συμπληρωματικές μεταξύ τους, δηλαδή και οι δυο είναι απαραίτητες κι επίσης και οι δυο πρέπει να χρησιμοποιηθούν στη διαδικασία της μάθησης και της λύσης προβλημάτων (problem-solving). Όταν λύνει κάποιος ένα σύνθετο μαθηματικό πρόβλημα, θα πρέπει να πηγαίνει μπρος - πίσω απ΄ τον ένα τρόπο σκέψης στον άλλο (βλ. Sfard 1987). Η λειτουργική προσέγγιση είναι αναπόφευκτη για να βρεθούν «τελικές απαντήσεις» σε μαθηματικά ερωτήματα, ωστόσο η δομική προσέγγιση είναι εκείνη που μετατρέπει τις μακριές σειρές λειτουργικά θεωρούμενης πληροφορίας σε πολύ περισσότερο συμπαγείς μονάδες, κι έτσι πολύ ευκολότερης γνωστικής προσπάθειας (βλ. Harel & Kaput, 1991). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα, συνδυάζοντας διάφορες διαδικασίες κι εφαρμόζοντας τις στην επίλυση προβλημάτων, μια εργασία να γίνεται πολύ περισσότερο σαφής. Τα αφηρημένα αντικείμενα για τις διεργασίες είναι ό,τι οι εικόνες και τα σύμβολα για τις λεκτικές περιγραφές : τρόποι κατανόησης μεγάλου πλήθους δεδομένων «με μια ματιά». Εφοδιασμένοι με μια τέτοια «γενική θεώρηση», ένα άτομο είναι περισσότερο κατάλληλο να αντεπεξέρχεται σε προβλήματα που δεν είχε συναντήσει στο παρελθόν. Με λίγα λόγια, η δομική αντίληψη είναι εκείνη που καθιστά όλες τις γνωστικές διεργασίες πραγματικά αποτελεσματικές.

Σε ό,τι αφορά τις εμπειρίες και τις εντυπώσεις του μαθητευόμενου, η πτώση στη γνωστική προσπάθεια και το συνοδευόμενο άλμα στην αποτελεσματικότητα της επίλυσης προβλημάτων μεταφράζεται σε ένα αίσθημα αύξησης της αποδοτικότητας και της κατανόησης. Μπορούμε να πούμε, γι’ αυτό, ότι τα αφηρημένα αντικείμενα προσφέρουν σε συγκεκριμένες μαθηματικές διεργασίες περισσότερο νόημα. Πράγματι, παρ’ όλο που μπορεί να γίνεις επιδέξιος στη σύνθεση κι απλοποίηση συναρτήσεων χρησιμοποιώντας μόνο τη λειτουργική προσέγγιση (χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις ως υπολογιστικούς μηχανισμούς), μάλλον θα νιώσεις περισσότερο ικανός αν μπορείς να σκεφτείς τη μελέτη και με δομικούς όρους.

Μιλώντας μεταφορικά, ένα άτομο που έχει γνώσεις χρειάζεται ένα «τρισδιάστατο» μαθηματικό αντικείμενο για να στηριχτεί με εμπιστοσύνη στις δικές του ενέργειες. Χωρίς την ικανότητα να σκεφτεί δομικά, ο μαθητευόμενος θα ένιωθε συχνά χαμένος : θα έπρεπε να εκτελέσει χειρισμούς σε κάτι ανύπαρκτο, γιατί σύμφωνα με τη δική του άποψη, τα αντικείμενα του ερωτήματος δεν υφίστανται. Ένας μαθητής, για παράδειγμα, για τον οποίο ο όρος «συνάρτηση» δεν αναφέρεται σε κάποιο φανταστό, καλά ορισμένο «αντικείμενο», θα εμφάνιζε αξιοσημείωτη δυσκολία προσπαθώντας να απαντήσει στην ερώτηση : «Ποιες είναι οι λύσεις της (συναρτησιακής) εξίσωσης f (x+y) = f (x) f   ;». Στην πραγματικότητα, η εμπειρία της συγγραφέα ως δασκάλου υποδεικνύει ότι εκπληκτικά μεγάλο μέρος των μαθητών του γυμνασίου αντιμετωπίζει τέτοια δυσκολία. Για μερικούς από τους μαθητευόμενους φαίνεται σχεδόν ανυπέρβλητη. Η συστηματική ανικανότητα των μαθητών να μεταχειρίζονται συναρτήσεις ως σταθερές οντότητες με το δικό τους τρόπο αποδείχθηκε επίσης σε συστηματικές έρευνες. Η συγγραφέας σ’ αυτό το βιβλίο, παρά τις διαφορές στη γλώσσα που χρησιμοποιούν, φαίνεται γενικά να συμφωνούν σ’ αυτό το σημείο. Πράγματι, το μήνυμα για συγκεκριμένα βασικά προβλήματα με αντικειμενοποίηση μεταφέρεται από δηλώσεις του τύπου: «(για τους) μαθητές, οι συναρτήσεις... δεν αποτελούν εννοιολογικές οντότητες» (Kaput) ή «... η δυσκολία που αντιμετωπίζουν πολλοί μαθητές με τον λογισμό προέρχεται, εν μέρει, απ’ το γεγονός ότι η κατανόησή τους της έννοιας της συνάρτησης είναι μονόπλευρη» (Schwartz). Στα πλαίσια αυτών και πολλών άλλων μελετών, κάποιος μπορεί να γενικεύσει και να πει ότι κάθε φορά που μιλάμε για συναρτήσεις, αριθμούς, γραμμικούς χώρους κλπ, η αντικειμενοποίηση φαίνεται πάντοτε πολύ δύσκολη να επιτευχθεί. Αυτός ο ισχυρισμός, όταν αιτιολογείται επαρκώς, μπορεί να βοηθήσει στη λύση του περιπλεγμένου παζλ που προκαλεί σύγχυση σε διδάσκοντες κι ερευνητές : «Αυτή (η αξιοθρήνητα αδύναμη ‘αίσθηση συνάρτησης’ των μαθητών μας) δεν υπάρχει επειδή δεν προσπαθήσαμε (να την αυξήσουμε), δεν υπάρχει βέβαια περίπτωση γι’ αυτό. Αλλά αποτύχαμε και το ερώτημα είναι γιατί» (Eisenberg).

Πριν διευκρινίσουμε τη δυσκολία της αντικειμενοποίησης με κατάλληλα παραδείγματα, ας υποδείξουμε τις πιθανές πηγές της. Πρώτον, υπάρχει ένα πρόβλημα από σημασιολογικές παραδοχές που συνήθως πρέπει να γίνονται ώστε να καθίσταται δυνατή η αντικειμενοποίηση. Περισσότερο συχνά (απ’ ότι το αντίθετο), ένα νέο αφηρημένο αντικείμενο έρχεται ως η γενίκευση μιας ήδη καλά αναπτυγμένης ιδέας, η οποία μπορεί να ερμηνευθεί με τους όρους μιας πολύ γνωστής διεργασίας. Για παράδειγμα, η δημιουργία των ρητών, άρρητων κι αρνητικών (αριθμών) διεύρυνε επιτυχώς την έννοια του αριθμού, όπως ακριβώς οι ορισμοί που δόθηκαν από τους Euler, Dirichlet και Bourbaki προοδευτικά διεύρυναν το εύρος της έννοιας της συνάρτησης. Σε κάθε μετάβαση, μερικές ιδιότητες της προηγούμενης, εκτενέστερες εκδοχές της έννοιας έχουν χαθεί. Δεν ήταν δυνατό να αποφευχθεί κάτι τέτοιο. Όπως το έθεσαν οι Piaget και Garcia (1989, σελ.204), καθώς ανεβαίνουμε στην ιεραρχία των μαθηματικών εννοιών, «συγκεκριμένες αρχικές ιδιότητες αντικειμένων δεν μπορούν να γίνουν αποδεκτές περισσότερο, ή αλλιώς οδηγούν σε αντιφάσεις το ερμηνευτικό σχήμα». Το πρόβλημα είναι ότι αυτές οι αναπόφευκτες παραδοχές είναι μερικές φορές πολύ δύσκολο να γίνουν. Πράγματι, αυτό που πρέπει να εγκαταλειφθεί στο πέρασμα από ένα μαθηματικό αντικείμενο στην περισσότερο εξελιγμένη εκδοχή του, μπορεί να είναι η πολύ διεργασία, η οποία μέχρι τώρα ήταν η κύρια πηγή της σημασίας του και συνεπώς το χαρακτηριστικό που μέχρι τώρα φαινόταν να είναι το πιο ουσιαστικό γνώρισμα της έννοιας στην οποία αναφερόμαστε. Για παράδειγμα, στην αρχαιότητα οι αριθμοί ήταν κάτι με το οποίο μετρούσες. Δεν είναι τότε να απορεί κάποιος που οι Έλληνες μαθηματικοί ήταν μάλλον έτοιμοι να απαλλαχτούν από κάποιο άτομο που θα ανέφερε την αρρητότητα παρά να παραδεχτούν κάτι όπως το <!--[if !vml]--><!--[endif]-->. Και θα μπορούσαν να χρησιμοποιήσουν ένα καλό επιχείρημα : στις διαδικασίες μέτρησης μπορείς να εφαρμόσεις κάθε ζευγάρι ακεραίων (λόγος) σε μια σειρά από υπολογιστικές πράξεις, κάτι όμως που δεν μπορεί να γίνει με το <!--[if !vml]--><!--[endif]-->. Ανάλογα, ένας από τους λόγους της διάρκεια τριών αιώνων αντίστασης στην έννοια του μιγαδικού αριθμού προέρχεται από το γεγονός ότι αυτοί οι νέοι αριθμοί δεν μπορούσαν να χρησιμοποιηθούν για να μετρήσουν μεγέθη, ούτε να διαταχθούν με τρόπο που να διατηρεί τις σχέσεις μεταξύ πραγματικών αριθμών. Με άλλα λόγια, αυτοί ήταν αριθμοί χωρίς μέγεθος! Σε ό,τι αφορά τη συνάρτηση, η αλγοριθμική της φύση ήταν εκείνη που, στη γενική περίπτωση, θα έπρεπε να εγκαταλειφθεί. Για πολλούς μαθηματικούς (και για την πλειονότητα των μαθητών σήμερα) μια έκφραση του τύπου «μη-αλγοριθμική συνάρτηση» θα πρέπει να εμφανιστεί ως contradictio in adiecto - μια δήλωση τόσο άσκοπη όσο κι η ιδέα του «άηχου θορύβου» ή του «υγρού στερεού».

Η δεύτερη πηγή της προφανούς δυσκολίας της αντικειμενοποίησης μπορεί να είναι πολύ περισσότερο σοβαρή από την πρώτη. Υπάρχει ένα πρόβλημα ενός εγγενούς φαύλου κύκλου - μια εμφανής αντίφαση μεταξύ δυο συνθηκών που φαίνεται αναγκαία για τη γέννηση ενός νέου αφηρημένου αντικειμένου. Από τη μια μεριά, φαίνεται ότι η αντικειμενοποίηση πρέπει να προηγείται κάθε αναφοράς υψηλότερου επιπέδου χειρισμών - των χειρισμών που πρέπει να εκτελεστούν πάνω στην έννοια που συναντάμε. Πράγματι, όσο ένα χαμηλότερου επιπέδου αντικείμενο (πχ, η συνάρτηση) δεν είναι διαθέσιμο, η υψηλότερου επιπέδου διεργασία (πχ συνδυάζοντας τα στοιχεία κάποιου συγκεκριμένου χώρου Hilbert) δεν μπορεί να εκτελεστεί λόγω της έλλειψης εισαγωγής δεδομένων. Από την άλλη μεριά, πριν προκληθεί μια πραγματική ανάγκη αναφορικά με τις χαμηλού επιπέδου διεργασίες ως τέλεια αντικείμενα, ο μαθητής μπορεί να στερηθεί το κίνητρο να υπομείνει την ύπαρξη ενός νέου δυσνόητου «πράγματος», ειδικά αν αυτό το νέο αντικείμενο είναι τόσο εξωφρενικά διαισθητικό όπως ένας αριθμός που δεν απαντάει στην ερώτηση «πόσο πολύ» ή μια συνάρτηση που δεν υπακούει σε κανέναν καλά ορισμένο νόμο. Η απαραίτητη καθοδήγηση δεν μπορεί να δημιουργηθεί, εκτός αν η ανικανότητα να σκεφτεί δομικά μετατραπεί σε ένα εμφανές εμπόδιο για παραπέρα εξέλιξη. Μια τέτοια κατάσταση προκύπτει μόνο όταν κάποιες υψηλού επιπέδου διεργασίες πρέπει να εκτελεστούν πάνω στην έννοια του ερωτήματος.

Για να συνοψίσουμε, η υψηλού επιπέδου εσωτερίκευση αποτελεί μια προϋπόθεση για χαμηλού επιπέδου αντικειμενοποίηση, κι αντιστρόφως. Όπως στο δημοφιλές πρόβλημα του αυγού και της κότας, η ερώτηση «ποιο έρχεται πρώτο», απλά δεν μπορεί να λάβει απάντηση. Ακολουθεί, γι’ αυτό, ότι στο κρίσιμο σταυροδρόμι στην ανάπτυξη της μαθηματικής γνώσης, ο μαθητευόμενος μπορεί να βρεθεί μπλεγμένος σε έναν ενδεχόμενα επικίνδυνο φαύλο κύκλο. Για να ξεφύγει από αυτή την εμπλοκή πρέπει να του προσφερθεί πολύ κίνητρο, ενέργεια κι αποφασιστικότητα. Στο επόμενο μέρος θα τεθεί το ερώτημα τι και πόσα μπορεί να κάνει ένας διδάσκοντας για να βοηθήσει το μαθητή να αντεπεξέλθει στις δυσκολίες και να ξεπεράσει τη σύγχυση πριν γίνει πολύ ζημιά.


απο το προσωπικο μου blog Mathematical Journey

 

Πολύ ωραίο θέμα Jomaru.