Eκτός θέματος και άνευ τίτλου

1. τα γραφεις σε latex, υποστηρίζει τέτοια το forum?
2. Δεν διαφωνουμε ως προς τι ειναι ευθεία και ποια η εξίσωση της, αλλά στο ότι η εξίσωση της είναι ορισμός. Ο κύκλος, ατυχές αντιπαράδειγμα, ορίζεται στην Ευκλείδεια Γεωμετρία.
3. δυο ευθειες τεμνομενες ή παράλληλες οριζουν ένα επίπεδο στην Ευκλείδεια.

 

Δεν τα γράφω σε latex, απλά βρήκα τα σύμβολα και τα έκανα copy-paste  

Η εξίσωση ορίζει γεωμετρικό τόπο, μια χαρά ορισμός είναι. Βέβαια αυτό αφορά την αναλυτική γεωμετρία και όχι την ευκλείδια. Ο κύκλος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου που ισαπέχουν από δοθέν σημείο στο επίπεδο (ευκλείδια) και στην αναλυτική γεωμετρία δίνεται με τη γνωστή εξίσωση. Αυτά που έγραψα είναι απλά ο συνολοθεωρητικός ορισμός της ευθείας και του κύκλου.

Όχι με την έννοια του ορισμού αλλά του προσδιορισμού. Το επίπεδο είναι αρχική έννοια στην ευκλείδια. Απ' όσο γνωρίζω οι αρχικές έννοιες είναι αναπόφευκτο κακό σε κάθε τυπικό σύστημα το οποίο για να θεμελιωθεί χρειάζεται:
1. Αρχικές έννοιες
2. Ορισμούς με βάση τις αρχικές έννοιες
3. Αξιώματα
4. Θεωρήματα

 

Εγώ γιατί θυμάμαι πως ευθεία ορίζεται η γραμμή που περνά από 2 σημεία και όσο κι αν προεκταθεί δεν θα περάσει ποτέ ξανά από αυτά; Με άλλα λόγια είναι μια καμπύλη με κλίση μηδέν.

 

Το "ευθεία είναι η γραμμή" είναι κυκλικός ορισμός.

Η Ευκλείδια γεωμετρία έχει τρεις αρχικές έννοιες και τρεις αρχικές σχέσεις:

1. Το σημείο
2. Η ευθεία
3. Το επίπεδο

Οι αρχικές σχέσεις είναι το , το "μεταξύ" (σχέση μεταξύ σημείων), το "κείται" (σχέση σημείων με ευθεία, σημείων με επίπεδο και ευθείας με επίπεδο) και η αναλογία που συνδέει ευθύγραμμα τμήματα και γωνίες.

 

Κι εγώ αυτό θυμάμαι... Μάλλον αυτή ήταν η παιδαγωγική προσέγγιση γυμνασίου της εποχής μας

 

Κάτι δεν μου "κολλάει" φιλτατε. Η ευθεία δεν μπορεί να είναι τίποτε άλλο εκτός από γραμμή, ενόσω η γραμμή μπορεί να μην είναι ευθεία.
Το "η ευθεία είναι η γραμμή", δεν είναι κυκλικός ορισμός λοιπόν, μιας και η "ευθεία" εμπεριέχει την γραμμή εντός της, ως προσδιορισμός γραμμής και ΜΌΝΟΝ.
Επιπλέον, είναι μάλλον παράδοξο να ορίζει κανείς ένα είδος γραμμής ( ευθεία) χωρίς να έχει ορίσει τη γραμμή.

 

Ποιααααας εποχής μας;;;; Εγώ αυτά τα θυμάμαι ύλη Δημοτικού, πριν λίγα χρόνια δλδ...

 

Δεν μπορείς να ορίσεις τη γραμμή χωρίς την αρχικές έννοιες του σημείου, της ευθείας και του επιπέδου καθώς και των συσχετίσεών τους.

 

Αν έχεις ορίσει το σημείο, τότε η γραμμή ορίζεται ως σύνολο διαδοχικών σημείων. Την ευθεία, που αποτελεί ένα είδος γραμμής, πως στο καλό την ορίζεις, χωρίς να έχεις ορίσει πρώτα τη γραμμή;
Είναι σαν να λες θα ορίσω την πτώση, χωρίς να έχω ορίσει πρώτα το βαρυτικό πεδίο. Η πτώση έχει ως προϋπόθεση το βαρυτικό πεδίο, τίποτε δεν πέφτει εντός βαρυτικού κενού. Η ευθεία έχει ως προϋπόθεση τη γραμμή, γιατί σε αυτή αναφέρεται. Ευθεία σκέτη χωρίς γραμμή υπάρχει;;

 

Δεν υπάρχουν διαδοχικά σημεία με την έννοια της διάταξης, τα σημεία είναι υπεραριθμήσιμα.

Αυτό λέω: δεν υπάρχει ορισμός της ευθείας. Είναι αρχική έννοια όπως το σημείο.

Η πτώση έχει κύρια προϋπόθεση όχι το βαρυτικό πεδίο αλλά την κίνηση. Αν δεν μπορείς να ορίσεις κίνηση σε ένα χώρο τότε η ύπαρξη βαρυτικού (ή οποιουδήποτε πεδίου που προκαλεί μεταβολή στην κίνηση) στερείται νοήματος. Για να επιστρέψουμε στην Ευκλείδια γεωμετρία, δεχόμαστε χωρίς ορισμό το σημείο, την ευθεία, το επίπεδο και τις μεταξύ τους σχέσεις (μεταξύ, κείται, αναλογία) και από εκεί και πέρα αραδιάζουμε ορισμούς, αξιώματα και με βάση αυτά θεωρήματα¹


¹ Και φυσικά επειδή Goedel happens έχεις και προτάσεις οι οποίες είναι ανεξάρτητες από τα βασικά αξιώματα, πχ το αίτημα των παραλλήλων. Εναλλακτικά μπορείς να δεχτείς αξιωματικά ότι τα τρίγωνα έχουν άθροισμα γωνιών 180 μοίρες και να αποδείξεις το αίτημα των παραλλήλων. Να αποδείξεις και τα δύο χωρίς να χρειάζεται το ένα το άλλο δεν γίνεται, and not for the luck of trying 2500 χρόνια  

 

Άρα εμάς που στην πρώτη γυμνασίου μας είχαν πει ότι ο ορισμός της ευθείας είναι: μια νοητή γραμμή χωρίς αρχή και τέλος και χωρίς πάχος, μαλακίες μας είπαν;
Και είχα τραβήξει μεγάλη σύγχυση γιατί αφού είναι νοητή και δεν έχει πάχος να λέμε ότι υπάρχει; Άρα είναι ψέματα τα μαθηματικά.
Και είχα ακούσει το "αυτό είναι αξίωμα" δε χρειάζεται να αποδειχτεί.
Μεγάλη ταραχή την είχα τότε! Ακόμα το θυμάμαι. Ήθελα να κάνω δικά μου μαθηματικά και ότι μου ερχόταν στο μυαλό να το λέω αξίωμα.
Βέβαια μου είχε πει τότε ο αγαπημένος μου μαθηματικός (του οποίου πρέπει να του την είχα ανεβάσει λίγο την πίεση) ότι δεν υπάρχει μόνο ένα είδος μαθηματικών. Υπάρχουν πολλά. Άλλη ταραχή αυτή.
Έτσι κι εγώ δεν έμαθα καθόλου μαθηματικά και ηρέμησα κάπως!